二級標題
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定價模型和不變式
參與到自動做市商機制中的人群，包括兩種不同的角色：流動性提供者（LP）和交易者。流動性提供者向機槍池存入資金，而交易者用一種貨幣從池中換取另一種代幣。 AMM 協議需要解決的第一個問題就是如何定價，以一個二幣池為例，即如何用代幣2(t2) 的數量表示代幣1(t1) 的價格。
假設池中兩種貨幣的數量分別為R1 和R2，在一筆交易中一個交易者想用Δ2 數量的t2 來買Δ1 數量的t1。我們可以用一個交易函數ψ來描述一個AMM 協議，其必須滿足在交易前後函數值不變，不變式表示為：
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Table 1 邊際價格
Uniswap V3
Uniswap 的交易函數定義如下：
由此可得不變式為：
推導出Δ2 的表達式為：
邊際價格為：
當Δ1->0 時，
在新版本V3 中，由於在不同價格區間的流動性密度不同，需要對每個同一流動性密度的小區間單獨計算。當跨過區間邊界時，需要的下一個區間做類似計算。
Balancer V2
Balancer 的交易函數定義如下：
由此可得不變式為：
推導出Δ2 的表達式為：
邊際價格為：
當Δ1->0 時，
權重ω1，ω2 也代表兩種代幣總市值的佔比，如果指定ω1=ω2=1/2，那麼該池就等價於Uniswap 的池子。
特別的，Balancer 允許至多8 種代幣的混合池，當代幣種類大於兩種時，其交易函數擴展為：
其他推導步驟也可類似地拓展到多幣的情形，推導步驟在此略過。
Curve V2
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價格影響和滑點
根據上一步得出的邊際價格公式，我們可以通過比較單次交易前後邊際價格的變化，來定義這次交易的價格影響。比較三種協議的價格影響，我們能得出以下結論：假定交易同等數量的代幣1，設定ω1 越高的Balancer 池，其價格影響越大，如果ω1>1/2，那麼價格影響大於相同交易在Uniswap 池中的影響，反之亦然。而在平衡點附近（即價格偏移不嚴重） Curve V2 的價格影響最小。
在下面的例子中，我們比較四個不同池子的單次交易價格影響，假設初始池中代幣總量R1=R2=10000：
一個Uniswap V3 池，初始價格為 1
一個Balancer V2 池，ω1=0.4,ω2=0.6，初始價格為0.666
一個Balancer V2 池，ω1=0.6,ω2=0.4，初始價格為1.5
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Figure 1 價格影響曲線
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無常損失
Table 2 無常損失
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Table 3 出金與入金
對於Uniswap V3 來說，入金時存入兩種代幣的配比由兩點因素決定（1）區間的兩個邊界（2）當前交易價格。簡單來說，如果當前交易價格等於兩個邊界價格的幾何平均數的話，LP 需存入50:50 等量的兩種代幣。若當前價格更偏向一側，那麼LP 需要存入的代幣中，更便宜的那種代幣佔據更高的比重。若當前價格在區間之外，LP 只需提供更便宜的一種代幣即可。
具體計算方法如下：
當出金時，兩種代幣的本金提取量可做類似計算。已賺取的手續費部分，以交易發生時的代幣類型收取並提取。
對於Balancer V2，LP 入金時總是需要提供池中所有種類的代幣，其配比決定與該池的權重設置
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流動性聚集
流動性聚集
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Table 4 流動性聚集方式
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Figure 3 流動性分佈Uniswap V2
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Figure 4 流動性分佈Curve
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Table 5 交易費用
Uniswap V3
每個交易對有三個費用梯度的池子供LP 選擇：0.05%，0.3%，1%。直觀上看，LP 更偏向於高費用池，但當高費用池的交易活躍度遠低於低費用池時，LP 就不得不參與低費用池。交易者更偏向低費用池，但當低費用池的流動性過於稀薄而滑點過高時，交易者就會被迫從高費用池中交易。
根據實際觀察，對於穩定幣交易對來說，0.05% 費用的池子最活躍。對於其他交易對，當市場波動率高時，高費用池變得更活躍，當波動率低時，低費用池更活躍。
Balancer V2
Balancer 協議收取兩種費用：（1）交易手續費，以交易額的一定百分比對交易者收取（2）出金費用，當LP 從協議中出金時按提取額度收取
交易手續費可設置為0.05% 到1% 之間，由池子創建者設置初始值，並由協議根據多因子來動態調整，因子包括：波動率，交易額，無常損失，流動性總量，流動性挖礦獎勵，等等。
結論
Curve V2
結論
結論
通過多方面的比較，可以看出每個協議都採取的不同的方法來契合LP 和交易者們的多方面不同需要。
Uniswap V3 給予了LP 最大的靈活性，幾乎所有參數都可以由LP 自主決定，而團隊並沒有額外加入更多輔助特性，以保持協議的簡單化。而LP 則需要管理自己的各種風險。
Curve 歷史上曾專注於穩定幣交易對，此新版本V2 致力於擴展所涵蓋代幣的種類。不同於穩定幣，非穩定幣交易對的市場中價可能會偏移到新的活躍區間，所以此協議可根據內置Oracle 的餵價調整流動性聚集範圍，而無需LP 自己重部署流動性區間。此種設計對個人投資者更加友好，但限制了開發更複雜的定制化做市策略的可能性。
Balancer V2 在同一流動性池中容納了多於兩種的代幣，並且賦予不同的權重，這滿足了一部分LP 差別對待不同種代幣風險敞口的需求。通過增加一側風險波動的方式，來降低另一側的風險。
引用文獻
[1] G. Angeris, A. Evans, T. Chitra; When does the tail wag the dog? Curvature and market making, 2020.
[2] Hayden Adams, Noah Zinsmeister, Moody Salem, River Keefer, and Dan Robinson. Uniswap v3 Core. (2021).
[3] Michael Egorov, Curve Finance (Swiss Stake GmbH). Automatic market-making with dynamic peg (2021)
[4] Fernando Martinelli, Nikolai Mushegian. Balancer Whitepaper (2019)
