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，編譯：Adeline，經授權轉發。

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原文| 《Kurtosis and Bitcoin: A Quantitative Analysis》

在這裡我們引入高斯隨機遊走的概念，它是Black-Scholes的期權定價模型所使用的基礎假設。這一期權定價模型將資產價格變化的時間間隔視為獨立變量，同時假定價格或資產收益隨時間的變化服從正態分佈，換句話說，交易在各個時間段都均勻分佈，每天、每週或每月的交易量龐大，因此根據中心極限定理（Central Limit Theorem），這些價格將符合正態分佈或高斯分佈。當資產的收益分佈是正態分佈時，不同收益情況出現的概率是已知的。了解這些概率可以為投資者提供一個思路，更好地量化持有這些資產時可能出現的風險。

在這個基礎上，我們不禁思考，這一模型是否能應用在比特幣這一新型資產上呢？比特幣的大漲大跌是一個眾所周知的事實，這裡不做爭辯。本文旨在探討如何構建風險框架，檢驗傳統金融衍生品定價中隱含的假設在比特幣中的應用情況。

本文最開始將介紹衍生品市場，概述Black-Scholes模型，論述模型的重要性及應用範圍，並根據模型的假設前提中不切實際的地方分析其局限性，討論它應用在比特幣市場的可行性。根據2016年1月至2019年8月期間比特幣日回報率的等歷史數據，我們比較了Black-Scholes模型分別應用於比特幣和標準普爾500指數（S&P500）的結果。最後得出“Black-Scholes模型可能不適用於加密貨幣市場”的結論，並從這一結論中得到對快速增長的代幣衍生品市場的一些啟示。

假設你是一個種植玉米的農民，你希望能收穫5000蒲式耳（約127噸）的玉米，並儘可能多地將它們賣出。然而，價格受市場的供需情況影響，玉米賣出價有低於生產成本的可能，而應用金融衍生品可以將這些情況下造成的損失最小化。

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Black-Scholes模型

以上示例解釋了金融衍生品的作用。當然，當把全套期貨、期權、掉期等都納入考慮範圍時，這一衍生品投資組合可以變得更加複雜。這些所有的投資組合的基礎都是:市場和價格反映風險和不確定性，衍生品將盡量降低這種不確定性。

期權合約的定價過程其實是相當機械的。眾所周知，Black-Scholes模型對期權定價與對沖有著非常重要的作用，同時投資者和交易所也使用這一模型來確定希臘值（the greeks）或計算期權和其他投資組合中的δ，Vega，θ ，γ等偏導數。這些偏導數對於交易所/券商所的風險管理有很大的幫助，它們是度量衍生品價格敏感性的係數。舉個例子，當大型加密衍生品交易所Deribit在清算高風險頭寸時，他們的風險引擎實際上是在創建一個“（delta neutral）”的對沖倉位，讓delta正負相消，使組合價值不受標的資產價格變動影響。

其中：

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這些新的衍生品交易所上市的消息不禁引發了我們的思考：在比特幣的風險管理中，Black-Scholes模型能發揮作用嗎？如果能的話，這個作用有多大？

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圖2：期權執行價格概率分佈

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假如波動率非常穩定，並且某隻股票在期權到期時100%會高於看漲期權的行權價格或100%低於看跌期權的行權價格，那麼這個期權就沒有價值了。實際上，從套期保值的角度來看，此時選擇期權是沒有意義的，因為沒有風險需要對沖。或者假設股票在期權到期時有50%的可能性會高於看漲期權額行權價格或有50%的可能性低於看跌期權的行權價格，那麼這個期權是有價值的，因為它能夠吸引投資者購買期權，以對沖持有基礎股票的風險。

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Black-Scholes模型絕不是完美的。某種程度上來說，Black-Scholes模型對市場的假設與實際情況不相符。通過這一模型，交易者只需輸入行權價、到期剩餘時間、標的資產價格、標的資產波動率和無風險利率等參數便可得到相應的期權價格。

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上述參數中，有四個參量的值都可以從市場上準確的獲得，只有標的資產價格波動率需要估計。而該模型假設波動性不僅是常數，而且可以預先知道。這種假設存在問題，因為波動性本身可能是不穩定的。 CBOE創建了恐慌指數(VIX)，指的是S&P500指數未來30天的隱含波動率。 2018年，恐慌指數(VIX)最低跌至8.5%，最高超過46%。因此全年的波動性並不總是一致的。

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在圖3的例子中，圖表表明標準普爾500指數呈現負波動率偏斜的現象。一個原因是越來越多的投資者喜歡買入股票價內看漲期權而不是直接買入股票，因為買入期權可以帶來槓桿效應，即付出相當於股價金額一部分的期權費即可享有股價同等漲幅的好處，而買入股票需要佔用相當於百分之百股價的資金。這樣做的結果是投資者的回報率會得以提升，因此市場對股票價內看漲期權的需求出現增加，並導致較低行權價的看漲期權的隱含波動率水平上行。

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其中：

因此，儘管Black-Scholes模型的正態分佈曲線在兩端給出的概率相等，但實際上股票期權市場往往表現得更為悲觀。而有趣的是，相較而言下的比特幣市場的樂觀程度要高得多。

圖4：到期日為2019年12月27日的比特幣期權表

圖4顯示了比特幣期權平台Deribit於2019年12月27日到期的比特幣衍生品。可以看出與比特幣現價(10000+)偏離程度相同的兩個價格(7，000和13000)顯示出不同的隱含波動率：在7000點買入的看跌期權（右側）的隱含波動率（IV）為86.6%，而13000點的看漲期權(左側)的IV略高，為90.2%。這表明，價外看跌期權的價值遠遠低於價外看漲期權，雖然這張期權表並不能代表整個比特幣期權市場，但也說明有相當一部分投機者/投資者低估了下行風險。

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其中：

峰度是數據分佈的平坦度（flatness）。尾部大的數據分佈，其峰度值較大，反映了未來尾部的風險特徵。樣本超額峰度公式為：

峰度為：

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在統計學裡，矩描述的是概率分佈的形狀。一般來說，一階距和二階矩分別表示分佈的均值和方差，三階矩代表偏度(Skewness)。如前所述，偏度用來衡量分佈不對稱或者傾斜的程度。四階距反映分佈的尖峭程度，並以不同的方式改變正態分佈的曲線。可以表示為：

圖5：方差相同的正態分佈與正峰度的形狀

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我們限定收益服從正態分佈時，那麼不同收益情況的概率是可知的。例如，假設某一資產的收益的正態分佈邊緣達到-50%和50%，這種資產將被認為是極不穩定的，但如果該收益是服從正態分佈的，那麼可以得出該曲線的尾部和邊緣與平均值相比分別有2和3個標準差。一旦知道了這些信息，投資策略就可以圍繞這種可能性進行調整，甚至非常不穩定的資產也可以像波動較小的資產一樣進行交易。因此，與其把風險和波動性混為一談，不如讓它們建立正交關係，這種關係可以作為波動風險指南針。

在圖6中，假設縱軸為價格的可預測程度，橫軸為收益的概率分佈的可知程度。在這張圖中，上象限為不可預測的價格，代表“隨機遊走”；左象限為收益率的概率分佈已知，代表收益服從正態分佈。

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比特幣峰度

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圖8：比特幣每日收益2016年(左)、2017年(中)、2018年(右)

圖9：2019年比特幣每日收益

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總體而言，超額峰度顯示，比特幣日收益率的概率偏斜使用Black-Scholes模型得出的平均值和尾部將大於預期。給期權定價可能會變得非常困難，因為隱含波動率變得不那麼可靠。超額峰度意味著大部分的價格變化變得不可預測，波動性不服從正態分佈。

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比較與結論

圖11：S&P 500峰度變化情況（資料來源：金融時報）

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其中：

在圖12的直方圖中顯示，S&P500的日收益率分佈，比起比特幣來說更接近正態分佈。儘管有部分日收益遠遠超出正態分佈曲線，明顯存在超額峰度。但總的來說，S&P500這250個觀察結果中只有6個超出正態分佈曲線。而在2017年比特幣日收益率的364次觀察結果中，有28個超出了正態分佈曲線。根據數據對比，我們發現S&P500日收益率曲線的下降速度非常快，出現極端價格波動的可能性較低，因此使得人們難以預測到事件的極端變化，波動不可預測。

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σ=√(2π/5)*(2/3.5)

σ=202.73%

使用上述公式得到：