編者按：本文來自 安比實驗室（ID：secbitlabs）編者按：本文來自
I know that I know nothing
編者按：本文來自
安比實驗室（ID：secbitlabs）
相信很多人都聽說過零知識證明，但是只有極少數人聽說過模擬，然而模擬是理解零知識的關鍵。初識「零知識」與「證明」我們在第一篇文章『
初識「零知識」與「證明」
如果從直覺主義角度解釋，要證明一個交互系統中存在信息洩露，那麼你只需要指證：第幾個bit 導致信息洩露即可；但如果要證明不存在信息洩露，那麼你要對著所有信息流中的所有bit 說，這從1，2，3，4，5，…… 編號的bit 都沒洩露任何信息。看官們，這是不是很難？
本文約八千字，略微燒腦。
二級標題
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安全的定義與不可區分性
首先，一個交互式系統，也就是一個對話，它的「零知識」需要證明。畢竟，現代密碼學是建立在嚴格的形式化系統之上。在證明之前，還需要明確「安全假設」到底有哪些。所謂安全假設，比如我們說一個系統的權限隔離做得無比精確，每一個用戶只能看到被授權的信息，但是這基於一個安全假設：管理員賬號沒有被破解。又比如在手機銀行軟件裡，只能通過短信認證碼，才能完成轉賬功能，這也基於一個安全假設：你的手機SIM 卡沒有被克隆。如果我們深入地分析每一個我們感覺安全的系統，都存在大量的似乎不那麼穩固的安全假設。比特幣私鑰安全嗎？比特幣賬戶的安全假設也不少：首先你的助記詞不能讓別人知道，手機錢包裡私鑰保存加密算法足夠強，密鑰派生算法正規，你不能忘記助記詞，等等等。
脫離安全假設來談安全都是在耍流氓。一切安全都有前提的。只有經過數學證明之後，大家才能夠確信這個算法/方案的安全性基於一些非常明確的「安全假設」。
在證明之前，還缺少一個東西，那就是「安全定義」。在多數人的認知系統中，安全就是一個框，什麼都可以往裡裝。大家應該好好提醒下自己，當談論安全二字的時候，有沒有想過到底什麼是安全？怎麼算安全？
「安全」需要有一個數學意義上的嚴格定義
偉大的科學家香農（Claude Shannon）從信息論的角度給出了一個非常靠譜的安全性定義[2]：
完美安全：假設你是一個攻擊者，你通過密文獲取不到任何有價值的信息，破解的唯一手段就是靠瞎蒙。
大家想一想，這個定義很有趣，通過密文獲取不到信息，這就意味著你沒有獲得任何額外的計算能力，能夠幫助讓你以更短的時間來計算出明文。
但是這個定義太完美，以至於使用的加密算法都很難滿足這個安全性定義。後來Goldwasser 與Micali 等人寫了另一篇載入史冊的經典『概率加密』[2]。
在這篇論文中定義了這樣一個概念：語義安全。所謂語義安全在完美安全的定義上放鬆了些要求。
語義安全：假設你是一個攻擊者，你通過密文在多項式時間內計算不出來任何有價值的信息。
OK，理解完「不可區分性」，我們再回到「零知識」，如何證明一個交互式系統是「零知識」呢？首先我們要定義下零知識這個概念
注：不可區分性是概率意義上的不可區分；在學術上，它可以分為「完全不可區分」，「統計不可區分」，還有「計算不可區分」。在本文中，我們暫時不需要理解這些概念的差別。
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遇見模擬器
先開個腦洞，設想在平行宇宙中，有兩個平行的世界，一個叫做「理想世界」（Ideal World），另一個叫做「現實世界」（Real World）。我們每一個個體可以在兩個平行世界中愉快地玩耍，但是兩個世界的普通人無法互相感知，也無法互相溝通。
假設「你」是一個很厲害的密碼破解者，而且「你」不是普通人，具備在平行宇宙之間穿梭的能力。而Alice 有一個地圖三染色的答案，你的目的是通過和Alice 對話來獲取地圖三染色的答案，會話的過程參考上一篇文章的「地圖三染色問題」協議。
繼續腦洞，Alice 只存在「現實世界」中；在「理想世界」，Alice 被「替換」成了一個長相與聲音一模一樣的個體，我們稱替身為Zlice。下一步，把「你」同時放入兩個世界中，但不讓你知道是你當前位於哪一個世界。你的兩個分身所面對的都是一個“Alice”模樣的人。
再重複一遍，在「現實世界」中， 與你對話的是一個真實的，並且誠實的Alice；而在「理想世界」中，與你對話的是Zlice （假Alice），Zlice 雖然相貌語言與Alice並無二致，但差異是，Zlice 並不知道「知識」，即不知道一個三染色問題的答案。
接下來在這兩個世界中，你的兩個分身將同時與真假Alice 進行對話。神奇的事情發生了，最終在兩個世界中，你的兩個分身都被說服了，都經過n輪挑戰，沒有發現對方作弊，即「你」的兩個分身都認為對方確實知道「答案」 。換句話說，「你」沒有能力「區分」出來自己到底在「現實世界」 還是「理想世界」，當然也沒能力「區分」和自己對話的究竟是Alice 還是Zlice。不僅如此，對於吃瓜群眾我而言，如果把「我」作為觀察者放入任何一個世界中，我會和你一樣「無法區分」出來眼前的這個長相為“Alice” 的人到底是真還是假。
下面是燒腦結論：
這個交互系統為何是「零知識」？
因為Zlice 是沒有任何知識，而且她和Alice 不可區分。
我再換個方式解釋：因為你和我都沒辦法區分我們究竟是在哪個世界中，兩個世界發生的交互過程幾乎不可區分，而且其中一個世界中根本就不存在知識，因此，我們說這個交互協議——「地圖三染色問題」是「零知識的」。
這裡還有個前提，理想世界必須是算法可構造的。然後，有一個「神」，他通過算法「模擬」了一個「理想世界」，其中構造了一個算法叫做Zlice，她沒有「知識」作為輸入，也即「零知識」；除此之外，「理想世界」與「現實世界」一模一樣。
設想你在對話過程中，如果真Alice 洩露了信息，那麼你就能立即區分出面前這個人是真Alice 還是Zlice，Zlice 是不可能偽裝洩露信息的。因此可以得出結論：
好了，到這裡，我們用「模擬器」這個概念對「零知識」進行了定義。
接下來，我們開始進入證明零知識的環節。
Save World State as Snapshot X
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區分兩個世界
證明的零知識過程，等價於構造（尋找）一個「模擬」算法，這個算法能夠讓模擬器來模擬出一個「沒有知識」的理想世界。如果這個算法存在，而且兩個世界不可區分，那麼就證明完畢。
其實，這裡有個關鍵點，借用電影『盜夢空間』中的劇照，在「理想世界」中有點東西是和「現實世界」本質不同的。這個東西是區分兩個世界的關鍵，而它要讓我們「無法感知」。這個東西不是夢境中的陀螺，它是一種「超能力」，模擬器Simulator 所具備的超能力。
比如這樣一種超能力：「時光倒流」。
圖片描述
圖片描述
（上圖是電影『土撥鼠之日』的劇照，劇中主人公每次睡醒都會回到2月2日的早上，這樣他永遠活在同一天裡）
等等，各位看官，不是剛才我們一直在討論不可區分性嗎？怎麼兩個世界又需要區分啦？ “我糊塗了”。不要慌，所謂的不可區分性針對的是理想世界中的個體認知而言。而「可區分性」是對位於世界外部的神而言。
首先「零知識」是為了保護Alice 的利益，因為Alice 不想在交互過程中透露更多的信息給Bob，不想讓Bob 知道她所擁有的秘密w，甚至不想讓Bob 從交互的過程中分析出哪怕一丁點的信息。那麼怎麼保證這一點呢？ 「模擬器」這時候登場了，它能模擬出一個和現實世界外表一模一樣的「理想世界」，然後「模擬器」在這個世界中可以輕鬆地騙過任何一個對手，讓對方無法分辨自己是在現實世界中，還是理想世界中。因為「模擬器」手裡沒有那個秘密w，「理想世界」是零知識的。又因為兩個世界的不可區分性，所以我們可以得出結論：Alice 的交互協議是「零知識」的。
我們來看一個具體的例子，上一篇文章[1]中提到的地圖3染色問題。
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地圖三染色問題的零知識證明
回憶一下「地圖三染色問題交互系統」：
第一步：Alice 把地圖染色答案做一次完全置換，然後將所有頂點蓋上紙片，交給Bob
第二步：Bob 隨機挑選一條邊
第三步：Alice 打開指定邊的兩端頂點的紙片，Bob檢驗兩個頂點的顏色是否相同，如果不同則通過，如果相同則失敗
回到第一步，重複n 遍
我們接下來就來證明上述這個交互是零知識的，這裡先假設驗證者Bob 是誠實的，這有助於大家理解這個證明過程。然後我們再討論，如果Bob 不誠實的證明方法。
在「理想世界」中，跟Bob 對話的是一個「模擬器」，它模擬出了整個世界的樣子。 Bob 按照三染色問題的交互協議進行交互。模擬器並沒有一個三染色答案，它索性把所有的頂點都染成了灰色。
首先，模擬器模仿Alice ，把每個頂點用紙片蓋起來。然後發給Bob。
Bob 隨機挑選了一條邊，挑戰證明者。
模擬器這時候不能打開紙片，因為這條邊兩端的顏色都是灰色啊。
這時候，模擬器要發揮「超能力」了，他運用時間倒流的技能，回到對話第一步之前。
模擬器現在處於第一步，他把最下面那條邊的兩端染上任意不同的顏色，然後重新蓋上紙片，並發給Bob。
Bob 這時候無法感知到時間已經倒退回第一步了，對他來說，一切都是新鮮的，他「誠實」地再次選擇了最下面的邊。
不誠實的Bob
在上面的證明過程中，有一個相當強的假設，就是每次時間倒流之後，Bob都會選擇同一條邊。如果Bob 每次都會換一條不同的邊呢？沒關係，如果在模擬器第一次實施時間倒流之後，Bob又選擇了不同的邊，那麼模擬器可以把顏色打亂之後，再次運行時間倒流，在多次時間倒流之後，Bob 極大的概率總會一次選擇模擬器進行染色的那條邊，然後這時候模擬器才走到第三步，打開紙片。
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阿里巴巴、洞穴與芝麻開門
在網上眾多的講解「零知識證明」的中文科普文章中，有一個例子流傳非常廣，這就是阿里巴巴與強盜的故事。可惜地是，這些不同版本的故事都只講了一半。那麼我接下來講一個不一樣的「阿里巴巴」與「四十大盜」的故事：
在很久很久以前，在一個叫做巴格達的城市裡，住著一個人叫阿里巴巴。每天阿里巴巴會到集市上買東西。
有一天，阿里巴巴被一個盜賊搶了錢包，於是他一路追著盜賊到了一個山洞口，然後盜賊就消失了。阿里巴巴發現洞口裡面有兩條岔路，如下圖所示。
阿里巴巴不知道盜賊往哪邊跑了，於是他決定去「左邊」岔道看看，很快阿里巴巴就發現這是個死胡同，也不見盜賊踪影。然後他又去「右邊」岔道檢查，也是個死胡同，不見盜賊踪影。阿里巴巴自言自語道：「該死的盜賊跑哪去了呢？」
第二天，阿里巴巴又去集市買東西，這次另一個盜賊搶了他的籃子，然後阿里巴巴追著這個盜賊到了昨天同樣的山洞口，然後盜賊又不見了，這一次阿里巴巴決定先去「右邊」岔道看看，沒有發現盜賊，然後再去左邊看看，也同樣不見盜賊。這好奇怪。
第三天，第四天，……，第四十天，同樣的故事上演，阿里巴巴追著第四十個大盜到了神秘的洞口，盜賊就消失了。阿里巴巴想，這個山洞裡面一定有機關，於是他躲在「右邊」岔道的盡頭，耐心地等了很長時間，這時一個盜賊跑了進來，走道岔道盡頭之後，念了一個咒語「芝麻開門」 。這時候牆壁居然打開了，盜賊跑進去之後，然後牆壁又合上了，這時候另一個受害者追了進來，找了半天，一無所獲。
阿里巴巴隨後等他們走了之後，試驗了一下這個咒語，果然非常有效，而且阿里巴巴發現這個牆壁通向「左邊」岔道。後來，阿里巴巴找到了更換咒語的辦法，並且把一個新咒語和洞穴的地理位置寫在了一張羊皮紙上。
注：到這裡，故事並沒有結束.... （上字幕）很久很久以後
在很多年後，到了80年代，阿里巴巴的羊皮紙流落到了幾個密碼學家手裡，他們跑到巴格達，找到了洞穴的位置，儘管過了幾個世紀，咒語居然仍然有效，這幾個密碼學家興奮地打開牆壁，在兩個岔道之間跑來跑去。
看到這裡，大家是不是對「模擬」慢慢有了感覺？這裡第二個電視台的主持人通過剪輯視頻的方式，而不是「時間倒流」。他對「理想世界」，也就是電視中播出的內容所在的世界，進行了外部幹預，達到了同樣的效果。對理想世界而言，這種剪輯本質上就是一種超能力
這個故事其實來源於一篇論文『如何向你的孩子解釋零知識證明』（How to Explain Zero-Knowledge Protocols to Your Children）[3]，發表在1989年的美密會議上。
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模擬與圖靈機
一談到超能力，大家有沒有覺得這玩意不科學。是的，如果我們無腦地用「超能力」來解釋任何事情，那麼我們邏輯就無法自恰（Consistent）。在理想世界中，模擬器是不能隨便開掛的，比如模擬器肯定不能直接修改Bob 的內部狀態，比如Bob 在驗證步驟明明驗證失敗，但是模擬器強硬去把驗證結果改為「接受」，這會導致我們可以證明：「任何的交互系統都是零知識的」，這個錯誤結論。
模擬器不是理想世界中全能的上帝。
那麼模擬器到底可以是什麼呢？模擬器其實只是一個圖靈機。所謂的「時間倒流」，「剪輯錄像」這類的所謂超能力並不是玄乎的超自然能力，而是圖靈機可以實現的功能。計算機專業的朋友們肯定都用過VMWare，虛擬機之類的軟件，本文講的「模擬器」完全可以想像成一個「虛擬機」軟件，它能虛擬出一個計算機環境，這個虛擬環境就是我們上文說的「理想世界」。 「時間倒流」如何解釋呢？不知道大家有沒有用過虛擬機軟件的「快照」功能（Snapshot），使用快照的時候，虛擬機軟件可以把整個虛擬計算機的所有狀態保存下來，然後在任意時刻，虛擬機軟件都可以重新回到保存快照的位置繼續運行。
注：其實所謂時間倒流是計算機中的一個基本操作，在程序語言理論中有一個概念叫做Continuation。抽像地講，Continuation 表示從現在開始到未來的計算。 Continuation這是控制流的一個顯式抽象，而goto，call-with-current-continuation，甚至thread scheduling 都可以看做是操作Continuation 的操作符。比如採用call/cc，也就是call-with-current-continuation 就可以輕鬆地實現「回溯」功能。保存快照可以理解為保存當前的Continuation，而回到過去的某一刻，就是應用這個Continuation。
證明零知識的過程，就是要尋找一個算法，或者更通俗點說，寫出一段代碼，它運行在外部計算機系統中，但是實現了虛擬機的功能。而且在虛擬機中，需要有一個不帶有「知識」作為輸入的Zlice，可以騙過放入虛擬機運行的Bob。
如果還沒理解上面我這句話，請時光回退到『區分兩個世界』這一小節，重新思考模擬。 :P （Load World State from Snapshot X）
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柏拉圖的洞穴寓言
模擬無處不在，哥德爾不完備性定理就使用了模擬的概念，用哥德爾數（Godel Numbers）模擬了形式算術。圖靈提出了「Universal Turing Machine」（通用圖靈機）的概念，這種圖靈機可以模擬自身。
但最早的「模擬」概念，出自『理想國』一書的第七卷[4]中，古希臘哲學家柏拉圖講了這麼一則寓言——Allegory of Cave：
設想在一個暗無天日的山洞中，有一排被鎖鏈鎖住的囚徒，他們從小就只能看到前方的牆壁。這些囚徒們身後是一堵牆，再後面有一堆放著火，在火與牆壁之間，有一些人舉著道具和木偶來回走，這樣道具木偶就會在火光映射下在牆壁上投下影子。而這些囚徒們整天就只能看著這些影子。因為這些囚徒們從打出生起，所聞所見就只是前方洞壁上的各種影子，他們會以為所看到的這些影子就是真實的世界。
過了一段時間，他對洞穴中的囚徒心生憐憫，於是想去把他們都帶出來。但是當他再次返回洞穴中，他因為已經適應了外面明亮的世界，回到洞穴中反而看不清楚。被鎖的囚徒們反而認為他的視力受損，胡言亂語，是個瘋子，最後當他想盡辦法把這群囚徒帶出洞穴時，被囚徒們聯手殺死。
未完待續
這是則人類命運的寓言，就和那一排被鎖鏈鎖著的囚徒類似， 我們以為眼睛看到的就是世界的真相,但實際上，那也許是幻象，就像洞穴牆壁上投下的影子一樣。
未完待續
未完待續
回顧一下在地圖三染色問題中，Bob 在「理想世界」與「現實世界」中的對話。雖然Bob 無法區分兩個世界，但是有一點，他可以確信：現實世界中，Alice 沒有超能力。
參考文獻
參考文獻
[2] Shafi Goldwasser and Silvio Micali, Probabilistic Encryption, Special issue of Journal of Computer and Systems Sciences, Vol. 28, No. 2, pages 270-299, April 1984.
[3]Quisquater, J.J., Quisquater, M., Quisquater, M., Quisquater, M., Guillou, L., Guillou, M.A., Guillou, G., Guillou, A., Guillou, G. and Guillou, S., 1989, August. How to explain zero-knowledge protocols to your children. In Conference on the Theory and Application of Cryptology (pp. 628-631). Springer, New York, NY.
問題來了，Alice 沒有超能力，並不能直接證明Alice 真的有答案。萬一這個交互協議並不能保證Alice 一定有知識呢？ 「零知識」保護了Alice 的利益，誰來保證Bob 的利益呢？這個問題留給下一篇。
[5] Goldwasser, Shafi, Silvio Micali, and Charles Rackoff. "The knowledge complexity of interactive proof systems." SIAM Journal on computing 18.1 (1989): 186-208.
[6] Oded, Goldreich. "Foundations of cryptography basic tools." (2001).
[7] Rackoff, Charles, and Daniel R. Simon. "Non-interactive zero-knowledge proof of knowledge and chosen ciphertext attack." Annual International Cryptology Conference. Springer, Berlin, Heidelberg, 1991.
[8] Goldreich, Oded, Silvio Micali, and Avi Wigderson. "Proofs that yield nothing but their validity or all languages in NP have zero-knowledge proof systems." Journal of the ACM (JACM) 38.3 (1991): 690-728.
