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원본 | "첨도와 비트코인: 정량적 분석"

여기에서는 Black-Scholes 옵션 가격 책정 모델에서 사용되는 기본 가정인 가우시안 랜덤 워크의 개념을 소개합니다. 이 옵션 가격 결정 모델은 자산 가격 변동의 시간 간격을 독립 변수로 간주하고 시간이 지남에 따라 가격이나 자산 수익률이 변화하여 정규 분포를 따르는 것으로 가정합니다. 또는 월간 거래량이 크므로 중앙 제한 정리(Central Limit Theorem)에 따라 이러한 가격은 정규 또는 가우시안 분포를 따릅니다. 자산의 수익률 분포가 정규 분포일 때 다양한 수익률 상황의 확률을 알 수 있습니다. 이러한 확률을 이해하면 투자자에게 이러한 자산을 보유할 때 발생할 수 있는 위험을 더 잘 정량화할 수 있는 아이디어를 제공할 수 있습니다.

이를 바탕으로 우리는 이 모델을 새로운 유형의 자산인 비트코인에 적용할 수 있을까 생각하지 않을 수 없습니다. Bitcoin의 급격한 상승과 하락은 잘 알려진 사실이며 여기서 논쟁의 여지가 없습니다. 이 백서는 위험 프레임워크를 구성하는 방법을 탐구하고 전통적인 금융 파생 상품의 가격 책정에 내포된 가정을 비트코인에 적용하는 방법을 조사하는 것을 목표로 합니다.

이 기사는 처음에 파생 상품 시장을 소개하고, Black-Scholes 모델의 개요를 설명하고, 모델의 중요성과 적용 범위를 논의하고, 모델의 비현실적인 가정을 기반으로 한계를 분석하고, 비트코인 ​​시장 성에서의 타당성을 논의합니다. 2016년 1월부터 2019년 8월까지 비트코인의 일일 수익률 등 과거 데이터를 바탕으로 비트코인에 적용된 블랙숄즈 모델의 결과와 S&P500 지수를 비교했다. 마지막으로 "암호화폐 시장에는 블랙숄즈 모델이 적용되지 않을 수 있다"는 결론이 도출되며, 이 결론에서 빠르게 성장하는 토큰 파생상품 시장에 대한 몇 가지 영감을 얻을 수 있습니다.

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파생상품 및 위험회피

당신이 옥수수 농부이고 5,000부셸(약 127톤)의 옥수수를 수확하여 가능한 한 많이 팔고 싶다고 가정해 보십시오. 그러나 가격은 시장의 수급상황에 영향을 받으며 옥수수의 판매가격은 생산원가보다 낮을 수 있으며 금융파생상품을 적용하면 이러한 상황으로 인한 손실을 최소화할 수 있습니다.

위의 예는 금융 파생 상품의 역할을 설명합니다. 물론 이 파생 상품 포트폴리오는 선물, 옵션, 스왑 등의 모든 범위를 고려할 때 더욱 복잡해질 수 있습니다. 이러한 모든 포트폴리오의 기초는 시장과 가격이 위험과 불확실성을 반영하고 파생 상품이 이러한 불확실성을 최소화한다는 것입니다.

이러한 기본적인 이해를 바탕으로 파생 상품의 가격을 특별히 고려합니다. 파생상품이 역할을 하기 위한 전제 조건은 기초 객체의 불확실성에 대한 실질적인 헤징을 나타낼 수 있다는 것입니다 효과적인 투자를 위해 옵션을 사용하는 방법은 생각해 볼 가치가 있는 질문입니다.

옵션의 실제 위험은 실제로 기초자산의 실제 가격에 반영됩니다. 위의 예에서 풋 옵션의 가격이 10센트가 아닌 2달러인 경우 옥수수는 여전히 3.50센트입니다. 그런 다음 Black-Scholes 모델을 통해 현재 옥수수 가격의 변동성이 200%보다 높다는 것을 계산할 수 있습니다(주 참조). 옥수수도 바뀝니다. 둘째, 기대치가 동일하더라도 2달러에 풋옵션을 매수하면 이익 마진이 크게 줄어들고 옥수수 가격이 3달러 이하로 떨어지면 옵션 프리미엄 때문에 손실을 보게 된다. 셋째, 기대치가 바뀌고 옥수수 가격의 내재 변동성을 신뢰할 수 있는 경우 옥수수를 부셸당 $1로 생산할 때 손실 위험이 커집니다. 따라서 미래에 대한 시장의 기대를 반영하는 옵션 가격의 타당성이 중요합니다.

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블랙숄즈 모델

옵션 계약의 가격 책정 프로세스는 실제로 상당히 기계적입니다. 우리 모두가 알고 있듯이 Black-Scholes 모델은 옵션 가격 책정 및 헤지에서 매우 중요한 역할을 합니다.동시에 투자자와 거래소는 이 모델을 사용하여 그리스를 결정하거나 옵션 및 기타 포트폴리오에서 δ, Vega, θ를 계산합니다. γ의 등가 편도함수. 이러한 부분파생상품은 거래소/브로커의 리스크 관리에 큰 도움이 되며, 파생상품의 가격민감도를 측정하는 계수가 됩니다. 예를 들어, 대규모 암호화 파생 상품 거래소인 Deribit이 고위험 포지션을 청산할 때 그들의 위험 엔진은 실제로 "(델타 중립)" 헤지 포지션을 생성하여 포지티브 델타와 네거티브 델타가 서로 상쇄되도록 합니다. 포트폴리오 가치는 변하지 않으며 기초 자산의 가격 변동에 영향을 받습니다.

이 새로운 파생상품 거래소의 상장 소식은 블랙숄즈 모델이 비트코인의 위험 관리에 역할을 할 수 있을까? 그렇다면 이것이 얼마나 유용합니까?

안에:

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이미지 설명

그림 1: 로그 정규 분포(왼쪽) 대 정규 분포(오른쪽)

그림 2: 옵션 행사가의 확률 분포

변동성이 높을수록 정규 분포 곡선의 면적이 커지고 옵션 가격이 높아집니다. 따라서 옵션 가격은 확률 분포로 생각할 수 있습니다.

변동성이 매우 안정적이고 옵션 만기 시 주식이 콜 옵션의 행사 가격보다 100% 높거나 풋 옵션의 행사 가격보다 100% 낮은 경우 옵션은 가치가 없습니다. 사실 헤지의 관점에서 볼 때 헤지할 위험이 없기 때문에 현시점에서 옵션을 선택하는 것은 말이 되지 않습니다. 또는 옵션 만기 시 주식이 콜옵션의 행사가보다 높을 가능성이 50%이거나 풋옵션의 행사가보다 낮을 가능성이 50%라고 가정하면 이 옵션은 가치가 있습니다. 투자자들은 기본 주식 보유 위험을 헤지하기 위해 옵션을 매수할 수 있습니다.

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Black-Scholes 모델은 결코 완벽하지 않습니다. 시장에 대한 Black-Scholes 모델의 가정은 어느 정도 실제 상황과 일치하지 않습니다. 이 모델을 통해 거래자는 해당 옵션 가격을 얻기 위해 행사 가격, 만기까지 남은 시간, 기초 자산 가격, 기초 자산 변동성 및 무위험 이자율과 같은 매개변수만 입력하면 됩니다.

위의 매개변수 중 네 가지 매개변수의 값은 시장에서 정확하게 얻을 수 있으며 기초 자산 가격 변동성만 추정하면 됩니다. 대신 모델은 변동성이 일정할 뿐만 아니라 미리 알려져 있다고 가정합니다. 변동성 자체가 불규칙할 수 있기 때문에 이 가정은 문제가 됩니다. CBOE는 향후 30일 동안 S&P 500 지수의 내재 변동성을 나타내는 VIX(피해자 지수)를 만들었습니다. 2018년 공황지수(VIX)는 최저 8.5%, 최고 46%까지 떨어졌다. 따라서 변동성은 일년 내내 항상 일정하지는 않습니다.

Black-Scholes 모델의 정확도는 시장의 변화에도 영향을 받습니다. 1987년 금융시장이 붕괴되자 파생상품 시장도 영향을 받았다. 1987년 이전에는 외가격 풋과 내가격 콜의 변동성이 거의 같았기 때문에 내재 변동성과 행사 가격 사이에 큰 관계가 없었습니다. 그러나 1987년에는 소름 끼치는 "변동성 미소"가 나타났습니다. 그림 3에서 볼 수 있듯이 옵션의 현재 가격이 행사 가격에서 벗어나면 옵션의 내재 변동성이 상승하여 중간 저점을 나타냅니다. 측면이 높은 웃는 입 . 금융 옵션에 따라 내재 변동성의 모양도 다르며 일반적으로 스톡 옵션의 변동성 곡선은 왜곡될 수 있으며 이를 변동성 스큐라고 합니다.

이미지 설명

이 스큐는 시장에 공황 신호를 보낼 수 있습니다. 풋옵션이 콜옵션보다 내재변동성이 훨씬 높다면, 이는 하방 위험에 대해 헤지하는 불균형한 양의 투자자로 설명할 수 있습니다.

그림 3의 예에서 차트는 S&P 500이 음의 변동성 스큐를 나타냄을 보여줍니다. 그 이유 중 하나는 옵션을 매수하면 주가의 일부에 해당하는 옵션 수수료를 지불하면 레버리지 효과를 가져올 수 있기 때문에 직접 주식을 매수하는 것보다 내가격 콜옵션 매수를 선호하는 투자자가 늘고 있기 때문입니다. 같은 주가를 누리고 상승의 혜택을 받으며, 주식을 사려면 주가의 100%에 해당하는 자금을 조달해야 합니다. 그 결과 투자자들의 수익률이 향상되어 주식 가격의 콜옵션에 대한 시장 수요가 증가하고 행사가격이 낮은 콜옵션의 내재변동성 수준이 높아진다.

따라서 블랙숄즈모형의 정규분포곡선은 양끝에 동일한 확률을 제공하지만 실제로는 스톡옵션 시장이 더 비관적으로 움직이는 경향이 있다. 흥미롭게도 비트코인 ​​시장은 비교할 때 훨씬 더 낙관적입니다.

그림 4: 만료 날짜가 2019년 12월 27일인 비트코인 ​​옵션 표

그림 4는 비트코인 ​​옵션 플랫폼 Deribit에서 2019년 12월 27일에 만료되는 비트코인 ​​파생 상품을 보여줍니다. 비트코인의 현재 가격(10,000+)에서 같은 정도로 벗어난 두 가격(7,000 및 13,000)은 서로 다른 내재 변동성을 나타내는 것을 볼 수 있습니다. IV)가 86.6%인 반면 13,000 콜옵션(왼쪽)의 IV는 90.2%로 약간 더 높습니다. 이것은 외가격 풋이 외가격 콜보다 가치가 훨씬 낮다는 것을 보여줍니다. 투자자들은 하방위험을 과소평가한다.

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첨도의 예측 불가능성

첨도는 데이터 분포의 평탄도입니다. 꼬리가 큰 데이터 분포는 미래 꼬리의 위험 특성을 반영하는 첨도 값이 큽니다. 샘플 초과 첨도 공식은 다음과 같습니다.

첨도는 다음과 같습니다.

자산 수익률 분포의 첨도를 계산할 때 일일 수익률의 평균(각 랜덤 변수 X와 모든 값의 평균의 차이)으로부터의 편차가 필요합니다. 이 편차는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

통계에서 모멘트는 확률 분포의 모양을 나타냅니다. 일반적으로 1차 거리와 2차 모멘트는 각각 분포의 평균과 분산을 나타내고 3차 모멘트는 왜도(Skewness)를 나타냅니다. 앞서 언급한 바와 같이 왜도는 분포가 얼마나 비대칭적이거나 왜곡되었는지를 측정합니다. 네 번째 거리는 분포의 선명도를 반영하고 다양한 방식으로 정규 분포의 곡선을 변경합니다. 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

그림 5: 동일한 분산 및 양의 첨도를 갖는 정규 분포의 모양

첨도는 위험을 측정하는 데 사용할 수 있으며 여기서는 "랜덤 워크"와 같은 기본 가정을 일시적으로 무시합니다. 주어진 기간 동안 수익률의 첨도를 찾는 것은 투자자에게 변동성이 어떻게 분포되어 있는지에 대한 아이디어를 제공할 수 있습니다. 자산 수익이 정상적으로 분배되는지 여부에 따라 다양한 위험 프로필을 설명할 수 있습니다. 투자 커뮤니티의 대부분의 사람들은 자산의 변동성이 높을수록 위험도가 높다고 주장하면서 변동성과 위험을 같은 것으로 취급하기로 선택합니다. 반대로 자산의 변동성이 적을수록 더 안전합니다. 그러나 이러한 변동성/리스크 이원론은 변동성의 본질을 무시하고 심지어 "리스크" 범주로 정규 분포로 반환되는 덩어리입니다.

반품이 정규 분포를 따르도록 제한하면 다양한 반품 상황의 확률을 알 수 있습니다. 예를 들어 자산 수익률의 정규 분포의 가장자리가 -50%와 50%에 도달한다고 가정하면 이 자산은 매우 불안정한 것으로 간주되지만 수익률이 정규 분포를 따르는 경우 곡선을 그릴 수 있습니다 꼬리 의 마진은 평균에서 각각 2 및 3 표준 편차입니다. 이 정보가 알려지면 이 가능성에 따라 투자 전략을 조정할 수 있으며 변동성이 매우 큰 자산도 변동성이 적은 자산처럼 거래할 수 있습니다. 따라서 위험과 변동성을 혼동하는 대신 변동성 위험 나침반 역할을 할 수 있는 직교 관계를 설정하도록 하십시오.

그림 6: 변동성과 위험 간의 직교 관계

Figure 6에서 세로축은 가격의 예측가능성, 가로축은 수익률의 확률분포의 알기가능성이라고 가정하였다. 이 그림에서 상한은 예측할 수 없는 가격으로 "랜덤 워크"를 나타내고, 좌상한은 알려진 수익률의 확률 분포로 수익률이 정규 분포를 따른다는 것을 의미합니다.

그림 7에서 왼쪽 위 모서리는 "이상적인" 가정을 기반으로 하는 Black-Scholes 모델의 자산을 나타냅니다. 이러한 자산은 "랜덤 워크"를 거치며 가격을 예측할 수 없으며 수익률은 정규 분포를 따르므로 확률 분포를 알 수 있습니다. 오른쪽 하단은 Black-Scholes 모델의 반대를 나타냅니다. 자산의 가격은 예측 가능하지만 확률 분포를 알 수 없습니다. 이 자산은 조작된 것으로 간주될 수 있습니다. 내부자 거래를 통해서든 일반적으로 기술적 분석을 통해서든, 가격은 완전히 예측 가능하지만 발생 확률은 불확실합니다. 이 자산의 가격은 시간이 지남에 따라 완전히 조작될 수 있으므로 수익 확률 분포를 예측할 필요가 없습니다. 왼쪽 하단의 가격을 예측할 수 있으며 확률도 알 수 있습니다. 이러한 자산은 "안정적"인 것으로 간주될 수 있으며 가격 편차가 없어야 하며 미래 수익률도 알려져 있습니다. 마지막으로 오른쪽 상단 모서리는 "랜덤 워크"를 따르지만 반환 확률이 비정상적으로 분포된 자산을 나타냅니다.

그림 7: 변동성 위험 나침반

Volatility-Risk Compass를 사용하면 자산의 위험 프로필을 보다 명확하게 파악할 수 있습니다. 이를 바탕으로 자산이 어느 사분면에 속하는지 결정하는 데 첨도를 사용할 수 있습니다. 초과 첨도는 Black-Scholes 모델에 의한 가격 책정이 반드시 신뢰할 수 있는 것은 아님을 의미하기 때문에 자산의 첨도는 옵션의 위험을 정량화합니다.

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비트코인 첨도

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그림 8: 비트코인 ​​일일 수익률 2016(왼쪽), 2017(중간), 2018(오른쪽)

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그림 9: 2019년 비트코인 ​​일일 수익률

지금까지(2019년 9월) 비트코인의 첨도는 줄어들지 않았습니다. 반대로 2018년과 비교하면 소폭 증가하여 초과첨도는 3.92이다. 연도 내 일일 수익률의 확률 분포는 평균 근처에서 더 크지만 확률 분포는 꼬리 부분에서 상대적으로 균일합니다. 이는 꼬리가 두껍고 정규 분포보다 평균 양쪽의 값 범위가 더 넓은 고전적인 양의 첨도를 나타냅니다.

그림 10: 2016-2019 비트코인 ​​초과 첨도

전반적으로 초과 첨도는 Black-Scholes 모델을 사용하는 비트코인 ​​일일 수익률의 확률 왜곡이 평균과 꼬리 모두에서 예상보다 클 것임을 보여줍니다. 내재 변동성의 신뢰성이 떨어지기 때문에 가격 옵션이 매우 어려워질 수 있습니다. 과도한 첨도는 대부분의 가격 변동이 예측 불가능해지고 변동성이 정규 분포를 따르지 않음을 의미합니다.

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비교 및 결론

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그림 11: S&P 500 첨도의 변화(출처: Financial Times)

그림 12의 히스토그램은 S&P500의 일일 수익률 분포가 비트코인보다 정규 분포에 더 가깝다는 것을 보여줍니다. 일부 일일 수익률은 정규 분포 곡선을 훨씬 초과하지만 분명히 초과 첨도가 있습니다. 그러나 전반적으로 S&P500에 대한 250개의 관측치 중 6개만이 정규 분포 곡선을 벗어납니다. 2017년 비트코인의 일일 수익률에 대한 364개의 관찰 중 28개가 정규 분포 곡선을 벗어났습니다. 데이터 비교에 따르면 S&P500 일일 수익률 곡선은 하락률이 매우 빠르고 극단적인 가격 변동 가능성이 낮기 때문에 사람들이 이벤트의 극단적인 변화를 예측하기 어렵고 변동을 예측할 수 없습니다.

그림 12: 2018년 S&P 500 일일 수익률

그래서 우리는 그것으로부터 어떤 깨달음을 얻을 수 있습니까? S&P 500이 정규 분포 곡선에 속하지 않는 것은 사실이지만 비트코인보다 더 정규 분포 곡선에 맞습니다. 이 결과에 대한 구체적인 이유는 아직 결정되지 않았지만 적어도 세 가지 가능성이 있다고 생각합니다. 첫째, 비트코인은 더 넓은 주식 시장과는 다른 자산 클래스를 나타내며 다른 기본 가정을 따릅니다. 둘째, 현재 비트코인 ​​시장은 아직 미성숙하고 전문 투자 기관의 관리 및 통제가 부족합니다. 셋째, 일반적으로 Black-Scholes 모델의 신뢰성이 의심스럽고 변동의 예측 불가능성이 "뉴 노멀"이 되었습니다.

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안에:

노트

Brenner와 Subrahmanyan의 "내재된 표준 편차 계산을 위한 간단한 공식"과 Black-Scholes 모델에서 다음을 얻습니다.

σ=√(2π/5)*(2/3.5)

σ=202.73%

위 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.